今回の浅水方程式は2次元バージョンである。 まず、例によって浅水方程式の基礎方程式系から述べることにしよう。

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v{\partial u}{\partial y}-fv+g\frac{\partial h}{\partial x}=0$$ (1)

$$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v{\partial v}{\partial y}+fu+g\frac{\partial h}{\partial y}=0$$ (2)

$$\frac{\partial h}{\partial t}+(H+h)(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})=0$$ (3)

この3式に、$u=U+u'$、$v=v'$、$h=H+h'$を代入すると、

$$\frac{\partial u'}{\partial t}+U\frac{\partial u'}{\partial... ...+v'{\partial u'}{\partial x}+g{\partial h'}{\partial x}-fv'=0$$ (4)

$$\frac{\partial v'}{\partial t}+U\frac{\partial v'}{\partial... ...g{\partial H}{\partial y}+g{\partial h'}{\partial y}+fU+fu'=0$$ (5)

$$\frac{\partial h'}{\partial t}+(H+h')(\frac{\partial u'}{\partial x}+\frac{\partial v'}{\partial y})=0$$ (6)

となる。ここで、U、Hは基柾黷ナあり、x軸方向に一様であるとしているのでUのx微分は消えている。これから式を線形化し、2次の微少量を無視と、

$$\frac{\partial u}{\partial t}+U\frac{\partial u}{\partial x}+v{\partial U}{\partial y}++g{\partial h}{\partial x}-fv=0$$ (7)

$$\frac{\partial v}{\partial t}+U\frac{\partial v}{\partial x}+g{\partial h}{\partial y}+fu'=0$$ (8)

$$\frac{\partial h}{\partial t}+H(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})=0$$ (9)

となる。ただし、$u=u'$、$v=v'$、$h=h'$として置き換え、基柾鶇はUと地衡流平衡しているものとして決めるものとして、

$$-g\frac{\partial H}{\partial y}=fU$$ (10)

を使った。 以下ではこの線形の微分方程式にしたがって、さまざまな初期条件のもと線形不安定の発達の様子を見た。繰り返しになるが、初期条件は地衡流平衡しているものとしている。